Variations sur un thème de valeur absolue

7 décembre 2007





Ce petit amusement, sans prétention, a trouvé son origine dans une conversation téléphonique que j'ai eue avec un ami dont le petit-fils, Jérémy, éprouve visiblement une vive allergie dès qu'on lui parle ou dès qu'il doit parler de mathématiques.

Notre échange portait sur la résolution d'équations contenant des valeurs absolues et dans la discussion desquelles l'ami Jérémy faisait plus confiance au hasard du moment qu'à une utilisation rationnelle de ses connaissances.

J'avais alors proposé que Jérémy s'appuie sur une résolution graphique du problème : les solutions devenant « visibles », il ne risquait plus d'en « oublier ».

Au cours de la discussion, je me suis aperçu que les expressions du premier degré qui intervenaient dans les valeurs absolues conduisaient à des solutions, en général au nombre de deux, qui se calculaient chacune simplement à partir d'une équation du premier degré (celle obtenue comme intersection de deux droites).

Je me suis alors demandé s'il était possible, par une méthode de ce genre, de calculer les racines d'une équation du second degré. La réponse est évidemment « oui, quand elles existent » et cela constitue le développement qu'on trouvera dans la petite amusette ci-jointe.

Je répète que ce texte est sans prétention aucune : on pourra constater qu'on peut calculer les solutions d'une équation du second degré avec juste la notion de valeur absolue, sans avoir besoin d'utiliser celle d'identité remarquable. J'ajoute que je suis tout à fait conscient que cette façon de faire n'est pas aussi « puissante » que celle enseignée classiquement, qu'elle ne semble pas non plus susceptible de généralisations. Je me suis diverti, c'est tout : on a bien le droit de s'amuser un peu, non ? Je m'étonne simplement de ne l'avoir jamais vue en exercice nulle part, mais peut-être qu'un lecteur bienveillant comblera cette lacune et me fournira les références que je n'ai pas.






voir ou télécharger (pdf 85 ko)                 télécharger (ps gzippé 202 ko)

vers le sommaire                                                 vers la page d'accueil