Ce petit amusement, sans prétention, a trouvé son origine dans
une conversation téléphonique que j'ai eue avec un ami dont le
petit-fils, Jérémy, éprouve visiblement une vive allergie dès
qu'on lui parle ou dès qu'il doit parler de mathématiques.
Notre échange portait sur la résolution d'équations contenant
des valeurs absolues et dans la discussion desquelles l'ami
Jérémy faisait plus confiance au hasard du moment qu'à une
utilisation rationnelle de ses connaissances.
J'avais alors proposé que Jérémy s'appuie sur une résolution
graphique du problème : les solutions devenant « visibles », il
ne risquait plus d'en « oublier ».
Au cours de la discussion, je me suis aperçu que les expressions
du premier degré qui intervenaient dans les valeurs absolues
conduisaient à des solutions, en général au nombre de deux, qui se
calculaient chacune simplement à partir d'une équation du
premier degré (celle obtenue comme intersection de deux
droites).
Je me suis alors demandé s'il était possible, par une méthode de
ce genre, de calculer les racines d'une équation du second degré.
La réponse est évidemment « oui, quand elles existent » et cela
constitue le développement qu'on trouvera dans la petite amusette
ci-jointe.
Je répète que ce texte est sans prétention aucune : on pourra
constater qu'on peut calculer les solutions d'une équation du
second degré avec juste la notion de valeur absolue, sans avoir
besoin d'utiliser celle d'identité remarquable. J'ajoute que je
suis tout à fait conscient que cette façon de faire n'est pas
aussi « puissante » que celle enseignée classiquement, qu'elle
ne semble pas non plus susceptible de généralisations. Je me suis
diverti, c'est tout : on a bien le droit de s'amuser un peu, non ?
Je m'étonne simplement de ne l'avoir jamais vue en exercice nulle
part, mais peut-être qu'un lecteur bienveillant comblera cette
lacune et me fournira les références que je n'ai pas.
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